Bilim
adamları ve öğretmenler meslek olarak seçtikleri alanın geçmişine yönelik genel
kültüre sahipseler kendilerini daha yetkin hissederler, daha öz güvenli
olurlar; araştırma ve öğretimde daha faydalı olacakları gibi gelecekte
yapılabilecekleri de daha kolay sezmeğe ve görmeye başlarlar. Bu nedenle
konuşmamın ilk kısmını bu konuya ayırdım. Bilindiği gibi bilim tarihi içinde
matematiksel gelişmelerin yeri ve önemi çok büyüktür. Matematiğin orijininde de
iki temel alan vardır: ARİTMETİK ve GEOMETRİ. Burada tarih boyunca geometrideki
buluş ve gelişmeleri kronolojik bilgilerden bir derleme biçiminde
vereceğiz.
İnsanoğlunun
dünyada oluşumu M.Ö. 2 000 000 lu yıllar olarak hesaplanmakta ve
kabullenilmektedir. İlk insanların uzun asırlar, hatta uzun milleniumlar boyunca
çok ilkel bir yaşam sürdürdükleri bilinmektedir. Ancak M.Ö 50 000 li yıllarda
sayma belirtilerine rastlanmış izleyen milleniumlar içinde (M.Ö. 25 000 li
yıllar) taşlara işlenmiş primitif geometrik şekiller tespit edilmiştir. (Bu
dönemin tarihte Kaba Taş Çağı olduğunu hatırlayalım!). Daha sonra tarım
sayesinde yerleşik yaşam yaygınlaşıyor, Maden Çağında (M.Ö. 4000 li yıllar)
ilerleme ve medenileşme sürüyor. Gerçek gelişme yazının ve rakamların icadı
(Mezapotamya da M.Ö. 3000 ler) ile oluyor. Mezapotamya da SÜMERLER, onları
izleyen BABİL ve AKADLAR (M.Ö. 3500-2000 periyodunda) geometri adına şunları
biliyorlardı:
Üçgen ve
çokgenlerin ALANLARININ hesaplanması
Pisagor
Teoremi (M.Ö. 1600-1900 arasında yazılan Plimpton tabletinde Pisagor üçlülerini
kapsayan tablolar var. İspata rastlanmasa bile Pisagordan en az bin yıl önce bu
teoremi biliyorlardı.)
Bir
çok basit geometrik cismin hacmini veren formüller
Kesik kare
piramidin hacmini veren formül
"Çapı gören
çevre açı diktir" teoremi (Bu ifade de Thales Teoremi diye bilinir. Oysa
Thales'den yaklaşık 1000 yıl önce biliniyor).
Ne
Mezapotamyalılar ne de biraz sonra söz edeceğimiz eski Mısırlılar AÇININ
ÖLÇÜLMESİNİ tam olarak geliştiremediler. Ancak yapı kirişlerinin eğimi hesabında
KOTANJANTA benzer bir kavram geliştirmişlerdi. π yerine yaklaşık değerler
kullanılıyordu.
Geometrinin
orijinin Mısır olduğuna ilişkin yaygın fakat YANLIŞ bir kanaat (ve birçok
kaynak!) vardır. Oysa Mısırdaki matematiksel gelişmeler, Mezapotamyadakileri
yaklaşık 500 yıl sonradan izlemiştir. (Bu yanlış bilginin kaynağı
Mezapotamyadaki BABİL TABLETLERİNİN şifrelerinin çok geç, ancak 130 yıl önce
çözülmeye başlamasıdır). Mısırlılar bu kavramlar dışında
GEOMETRİK
EŞLİK kavramını kullandılar
M.Ö. 2800
lerde BÜYÜK PİRAMİDİ inşa ettiler [kare piramidi, (taban çevresi/yükseklik)≈2π,
Güneş ışınlarının hareketine göre şifreli iç yapısı gibi önemli özellikleri
var].
İnsanoğlu
yazının icadından hemen sonra tekerleği icat edince (M.Ö. 3000) ulaşım ve
ticarette ulaşılan kolaylıkların sağladığı gelişmeler sayesinde π sayının
varlığı ile karşılaştı. Çember, daire, kare, silindir gibi basit geometrik
şekillerle ilgili olan bu harika sayı tamamen geometri orjinlidir. (r yarıçaplı
çember için, π=çevre/2r=alan/r nin karesi). Π üzerinde Mezapotamyalılar,
Mısırlılar, Çinliler, Hintliler, Helenler, ve hatta 1600 lü yıllardan itibaren
bir çok büyük matematikçi uğraşmışlardır. İrrasyonelliği 1767 J. F. Lambert
tarafından ve transandant bir sayı olduğu çok sonraları (1882 de Alman
matematikçi F. Lindemann tarafından) ispatlanmıştır.
Geometrideki gelişmeler, daha sonra Batı Anadolu da devam etmektedir. Grek
genişlemesi ile Mısır ve Mezapotamyadan öğrenilen bilgiler Miletli Tales (M.Ö.
595) ve hemşerisi Pisagor (M.Ö. 540) tarafından işlenmiş ve geliştirilmiştir.
Tales ve Pisagor'un DEDAKTİF GEOMETRİ çalışmalarından hiçbir belge bugüne
ulaşmamıştır. Ancak özellikle Pisagor öğrendiklerini ve bildiklerini bir çeşit
okul kurarak skolarlarına aktarmıştır. Bu dönemde İSPATLI GEOMETRİye
geçilmiştir. Daha sonra gelişmeler, Trakya, Mora yarımadası ve İtalya'ya
yaygınlaştı. Cetvel ve Pergel yardımıyla;
Bir
çemberinin alanına eşit alanlı kare çizmek
Açıyı üçe
bölmek
Küpün
hacmini iki katına büyütmek
gibi klasik
problemler ve benzerleri bu dönemde (M.Ö. 4. asırda) çalışılmıştır. (bu
problemlerin izleyen asırda cebirsel eğriler yardımıyla çözüldüğü biliniyor).
Geometri o kadar önem kazanmıştı ki geometriye doğrudan hiçbir katkısı olmayan
Plato kurduğu okulun kapısına BURAYA GEOMETRİ BİLMEYEN GİREMEZ yazısını
koydurdu. Sonra Eudemus (M.Ö. 335) GEOMETRİ TARİHİni yazdı, Aristeaus (M.Ö. 320)
KONİKLER konusunu ayrıntılı inceledi.
M.Ö. 323 de Büyük İskender'in ölümü ile üçe parçalanan Roma İmparatorluğunun
Mısır kesiminde I. Ptolemi döneminde bilimin yeniden şahlanmasını sağlayan
gelişmeler oldu. İskenderiye'de tamamen serbest eğitim veren okullar kuruldu.
Öklid M.Ö. 300 lerde ELEMENTLER adlı eserleri yazdı. Bu eserler üzerine çok şey
söylenebilir. Bugün bile ilköğretim ve liselerimizde okutulan bilgilerimizin
hemen hemen tamamı bu eserlerde vardır. Tales, Pisagor ve Pisagoryanlarca ispat
edilmiş geometrik ifadeler bu dönemde mükemmelleştirildi. Plato okulundan
yetiştiği sanılan ve iyi bir yazar olan Öklid'in adı bu eserlerle yaşamaktadır.
Daha sonra M.Ö. 140 da Hiperkus, ilk düzenli TRİGONOMETRİ eserini yazdı, Heron
birinci yüzyılda bazı formüller geliştirdi ve geometriye dayalı birçok icatlar
yaptı. Pappus M.S. 320 de Pappus teoremini de kapsayan KOLEKSİYONU yazdı.
(Pappus teoremi altıgenlerle ilgili bir özellik olarak ispatlanıyor, ama bugün
Projektif geometride önemli bir role sahip bir aksiyom olarak bile
kullanılmaktadır).
1143 yılında
ELEMENTLERin batı dillerine çevrildiği ve izleyen dönemlerde yavaş yavaş
okullarda sistematik olarak okutulduğu görülüyor. 1635 de Cavalieri GEOMETRİ
adlı eserini yayınlıyor, 1637 de Descartes ANALİTİK GEOMETRİyi keşfediyor. 1639
ve 1640 da sırayla Desargues ve Pascal bugün kendi adlarıyla bilinen
teoremlerini de kapsayan eserlerini yayınlıyorlar. 1678 de Ceva TEOREMİnin
ispatı veriliyor.
1670 de
HİPERBOLİK GEOMETRİNİN ortaya atılışı, 1794 de Legendre'nin GEOMETRİNİN
ELEMANLARI, 1801 de Gauss'un PARALELLİK kavramı üzerine çalışmaları, 1826 da
Poncale ve Plucker'in geometride DUALLİK İLKESİ, 1827 de Mobius, Plucker ve
Feurbach'ın HOMOGEN KOORDİNATLARI işleyişleri gerçekleşiyor.
1822 de
Poncale'nin bugün kendi adıyla anılan teoremlerinide kapsayan DENEMELER adlı
eseri yayınladı. Kazan üniversitesinden Lobacevski'nin 1829 da yayınlanan
çalışmaları ve bu konuda daha önce aynı sonuçlara ulaştığı ve ispatlar anlaşılan
Macar Bolyai'nin çalışmaları ile ÇOK PARALELLİ (=hiperbolik) GEOMETRİLERİN
VARLIĞI görüldü.
1843 de
4-boyutlu uzayın vektör cebri ile ilgili olarak Hamilton KUATERNİYONLARI
keşfedildi ki bu kavram bugün en ilginç ve somut (Dezargsel fakat Pappussel
olmayan) projektif düzlemlerden birini inşa etmekte kullanılmaktadır.
Daha sonraki
yıllarda ses getiren eserler olarak 1847 de Von staudt'un GEOMETRİ DER LAGE'si,
1854 de Riemann'ın HABITATIONSCHRIFT'i, 1872 de Klein'in yayınları ve son olarak
1889 da Hilbert'in GRUNDLAGEN DER GEOMETRİ'si görülüyor. Bu son eser çok
önemlidir onun üzerine daha sonra konuşulacaktır.
Düzenli
geometrik şekiller tarihsel olarak nerelerde görülmektedir sorusunu yanıtlayarak
bu kısmı bitirelim: Gelişme ve medenileşmeye başlayan toplumlarda ilk düzgün
geometrik şekiller, sırayla, tarla ve bağlar gibi bölünerek işlenen arazi
parçalarında; tapınaklar, sinagoglar, katedral-kilise ve cami gibi toplu ibadet
yerlerinde; su kanalları, köprüler, kervansaraylar gibi ulaşımla ilgili
yapılarda; han, kral, padişah ve imparator sarayları, Türbeler, Firavun
Mezarları ve şehir surları gibi yapılarda; ve günümüzde her türlü mimari eser ve
çok sayıda modern teknik araçlarda görülmektedir.
Öklid Dışı
(non-Euclidean@Öklidyen Olmayan) Geometriler
Kısalığı
sağlamak için izleyen iki kısımda sadece düzlem geometri üzerinde durulacaktır.
Öklid düzlemi yada kısaca düzlem denilince, herkesin anlayacağı bir dille
söylersek, her doğrultuda sınırsız uzayan düz pürüzsüz yüzey kastedilir.
Noktalar ve doğrulardan oluşan düzlemde nokta ve doğrularla ilgili bazı
ifadelerin geçerlilikleri ispata gerek duyulmadan kabul edilirler. AKSİYOM
denilen ve doğal olarak sağlandığı varsayılan bu ifadelerin ispatı (aşikar
olduğundan) mümkün değildir. Geometri de kabullanilen aksiyomların SONUÇLARI
incelenir. Öklid Düzleminin Aksiyomları EK-1 de verildiği gibidir.
Zaman içinde Öklid'in V. POSTULAT'ı Playfair aksiyomu adıyla daha kısa ve özlü
olrak;düzlemde bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen bir tek paralel
doğru çizilebilir biçiminde ifade edilmiştir. Öklid dönemi ve öncesinde, bu
ifadeye "kesin olarak geçerli" denilemediği, yani şüphe edildiği, içindir ki
aksiyom olarak değil, postulat olarak ifade edilmiştir. Gerçekten de GAUSS da
dahil bir çok büyük matematikçiler bu ifadeyi ispatlamaya çalışmışlardır. Ancak
1820 lerin sonunda Bolyai ve Lobacevski V. Postulatın diğer aksiyomların sonucu
olmadığını; bu postulat dışındaki bazı Öklid Aksiyomlarıyla birlikte
H:Bir
doğruya dışında verilen bir noktadan geçen iki (yada daha çok sayıda) paralel
doğru çizilebilir
ifadesi
alınarak yeni bir geometri oluşturulabileceğini gösterdiler. Böylece hiperbolik
geometri, dolayısıyla ÖKLİD DIŞI GEOMETRİ kavramı ortaya çıktı. Öklid
aksiyomlarını sağlayan bir tek düzlem varken Bolyai-Lobacevski aksiyomlarını
gerçekleştiren bir çok reel model geliştirilmiştir. Bunların bir kaçını
belirtelim:
Taksi
Düzlemi
Klein
Modeli
Maksimum
Düzlem Modeli
Poincare Üst
Yarı Düzlem Modeli
Poincare
disk Modeli
......
Gaussve
Riemann'ın çalışmaları ile hiperbolik geometrideki gelişmeleri
değerlendirerek
P :
Farklı iki doğru bir tek noktada kesişir
ifadesini ve
bazı Öklid aksiyomları ele alınarak PROJEKTİF GEOMETRİ (ve genelde Eliptik
Geometri) geliştirildi. Üstelik, sonsuz çoklukta projektif düzlem bulundu.
Bugüne kadar bu konuda milyonlarca araştırma (makale), yüzlerce kitap yazıldı ve
hala çözülmeyi bekleyen çok sayıda önemli problemler vardır. Böylece V.
Postulat, H ve P nin hepsinin ayrı ayrı geçerli olduğu geometriler ortaya
çıktı.
Öklid'in
elementlerindeki aksiyomlarda var olan bazı belirsizlikler ve eksiklikler, uzun
yıllar boyunca bilinmesine karşın, aynen kullanılmışlardır. Ancak Hilbert 1889
da çağının bilgileriyle Öklid düzlemin aksiyomlarını yeniden düzenlemiştir.
GRUNDLAGEN DER GEOMETRİ adlı eserdeki bu aksiyom sistemi EK-2 de
verilmiştir.
Artık Öklid
düzlemi için, tüm matematik dünyasınca "mükemmel" olarak değerlendirilen bu
aksiyom sistemi (Hilbert Düzenlemesi) geçerlidir denilebilir. Ancak 20. yüzyılda
çağdaş matematik bilgileri göz önüne alınarak daha kısa ve daha rafine bir
aksiyom sistemi oluşturulmuştur. F. Krause'nin TAXICAB GEOMETRY adlı kitabından
aldığım ve son zamanlarda Öklid düzlem geometrisi (SMSG geometrisi dahil)
işleyen birçok eser de kullanılan Birkhoff'un METRİK AKSİYOMLARININ bir
modifikasyonu olan bu aksiyom sistemi EK-3 de verilmiştir.
Bu
aksiyom sistemlerinin karlılaştırılmasını ilgilenenlere bırakarak konumuzu biraz
değiştirelim.
3.
Öklid Dışı Geometri Anlayışında Değişiklik
Tarihsel
olarak, paralellik aksiyomunu sağlamayan her Geometri Öklid dışı bir geometri
olarak bilinmektedir. Fakat artık Hilbert (veya eş anlamlı olarak Birkhoff)
tarafından verilen aksiyomlardan "en az birini sağlamayan bir geometri Öklidyen
olmayan bir geometridir" anlayışı yerleşmiş bulunmaktadır. Örneğin, Taksi
geometri, KRAUSE düzenlemesindeki paralellik aksiyomu dahil 12 aksiyomun hepsini
sağlayan fakat sadece KAK:(Üçgenlerde Eşlik) Aksiyomunu sağlamayan bir
geometridir. Dolayısıyla Öklidyen olmayan geometriler spektrumu oldukça büyük
hale gelmiştir. Bu konuda daha başka örnekler, projektif, hiperbolik veya metrik
geometrilerden kolaylıkla hemen verilebilir.
Geometri ve
Öklid Dışı Geometrilerin Öğretimdeki Yeri ve Önemi
Olayların
algılanmasında resim, fotoğraf, grafik gibi şekillerin önemi yadsınamaz. Bir
anlamda şekil bilgisi de demek olan geometri matematik öğretiminde yerine hiçbir
şey konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir. Okuttuğum bir çok derste
öğrencilerime şunu tekrar tekrar söylüyorum: Matematikte hiçbir kavram yoktur ki
uygun bir şekille anlatılamasın. Eğer bir konuyu iyi biliyorsanız onu uygun bir
şekille açıklayabilirsiniz. Şekille açıklayamadığınız yani, geometrik yorumunu
yapamadığınız bir konuyu iyi bilmiyorsunuz demektir. Dilerseniz bana bu konuda
herhangi bir matematik kavramını sorabilir ve geometrik açıklama
isteyebilirsiniz! Bu sebebledir ki son yirmi beş yıldaki tüm derslerimde
anlattığım her konuda temsili şekiller çizmeği alışkanlık haline getirdim. Çünkü
görmek anlamayı kolaylaştırır (İngilizce'de "anlıyorum" anlamında da "görüyorum"
ifadesinin sıkça kullanılması boşuna değil!). Ülkemizde ilk ve orta öğretimde
(hatta birkaçı hariç üniversitelerimizde) Öklid geometrisi ve onun uzantıları
olan afin uzaylar ve differensiyel geometri konuları incelenir. Öklid dışı
geometrilerin de sadece varlığından bir kaç cümle ile söz edilir. Oysa
benzerlik, farklılık, aykırılık ve zıtlığın öğretimdeki büyük rolü inkar
edilemez. Çünkü kötüyü bilmeden iyiyi, çirkini bilmeden güzeli, kısa kavramını
belirlemeden uzun kavramını anlamlandıramazsınız. Yine birbirine çok benzeyen
iki şeyi ayırabilmek için farklılıklarını ortaya koymak gerekir. Gelelim Öklid
dışı geometrilere. Kanatimce Öklid dışı geometrilerin sadece varlığından söz
edip bırakmak oldukça sakıncalıdır. Nitekim, ABD ve bazı uzak doğu ülkelerinde
orta öğretim programları Öklid dışı geometrilerden bazı örneklemelerle
-basitleştirilerek- donatılmaktadır. Öğretmen yetiştiren öğretim kurumlarında
Öklid dışı geometriler ve Elementer projektif geometri mutlaka okutulmaktadır.
1980 öncesi yıllarda "Eğitim Enstitüsü" adı altında öğretim yapan okulların
programlarında elemanter projektif geometri dersi vardı ama okutacak öğretmen
yoktu. Bugün ilk ve orta öğretimde görev yapan öğretmenlerimizin yüzde doksan
dokuzunun yukarıda saydığım konularda yetersiz ve donatımsız olduğu bir
gerçektir. Bunun sebebi öğretmenlerimiz değil fakat yeterli kadrolara sahip
olmayan yüksek öğretim kurumlarımız ve bizleriz. Konuşmacınız bunun bilincine
ancak ellili yaşlarında ulaşmıştır ve bu boşluk ve eksikliği kendi çapında
gidermek için bazı gayretler içindedir. Şu anki tebliğ de bu düşüncenin
eseridir.
Burada şu sorular sorulabilir: Öklid dışı geometrilerin orta öğretimle ilgisi
nedir? Bunlar hangi kapsamda ve nasıl anlatılabilir? Mevcut eksiklikler nasıl
giderilir?
Soruların kısa cevabı kanaatimce şöyle özetlenebilir:
Son
sorudan başlarsak, eksikliklerin giderilmesi için öğretmen yetiştiren yüksek
öğretim kurumlarında Öklid geometrisi ve Öklidyen olmayan geometrilerin
okutulması gerekir.
Son
elli yılda artık EK-3 de sunulan (Metrik yaklaşımlı) aksiyom sistemi
kullanılmaktadır. Oysa gerek taksi geometri, gerek maksimum metriği ile
geliştirilen geometride Öklid düzlemi ile aynı nokta ve doğru kümeleri
kullanılmakta, açılar da aynı yolla ölçülebilmektedir. Bunların her ikiside 13
aksiyomdan 12 tanesini sağlamakta sadece Kenar-Açı-Kenar (KAK) aksiyomununda
aykırılık göstermektedir. Sonuç olarak KAK aksiyomunun da Öklidyen geometri için
kritik ve belirleyici aksiyom olduğu görülmektedir. Buradaki önemli husus,
Öklidyen geometride birçok başka kavramlarıda belirlemekte ve tanımlamakta
kullanılan UZAKLIK kavramının tanımından ortaya çıktığının öğretici tarafından
iyi bilinmesidir. O, öğrenciye pedagojik nedenlerle bu yeni modelleri tamamen
veremese bile kendince örnekler düzenleyebilir. Aşağıdaki konular orta öğretimde
basitleştirilerek örneklerle öğrenciye verilebilir:
Düzlem Taksi
geometrisi tanıtılır, modern yaşamdaki çok sayıdaki uygulamaları verilir.
Öklidyen düzlem geometrinin 13 aksiyomundan 12 tanesini sağladığı fakat sadece
KAK aksiyomunun sağlanmadığı -aşağıdakine benzer bir örnekle-
gösterilebilir.
Öklid
geometrisinde "C, A ile B arasında Ûd(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" arada olma aksiyomu
bir çok metrik geometride gerli değildir. Örneğin; (1,-1)
"arada olma"
yı daha belirlemek için metrik yaklaşımda "C, A ile B arasında ve
CÎÛd(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" biçiminde geliştirilmiştir.
Öklid
düzleminin istenilen kadar büyük yarıçaplı fakat gerektiğinde sınırlı bir
bölgede yaşam uygulaması mümkün kılan Klein Modeli tanıtılarak Öklid dışı
geometri kolayca anlatılabilir.
-
Bu modelde paralellik nasıl tanımlanır?
-
Paralel olmayan ve kesişmeyen doğrular var mı?
-
Paralellik aksiyomu dışındaki aksiyomlar sağlanır mı?
gibi
sorulara cevap aranabilir.
Poincare'nin
yarı düzlem hiperbolik geometrisi tanıtılır. Paralellik aksiyomunun
sağlanmadığı, üçgenin iç açıları toplamının 180 den küçük olduğu kolaylıkla
gösterilebilir.
KAYNAKLAR
1. W.
W. R. Ball, Ashort Account of the History of Mathematics Dover Pub, Inc., New
York.
2. C.
B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley&Sous, New York
(1968).
3. S.
R. Clemens, Non-Euclidean Distance, Mathematics Teacher, ? , 595-600
(1971).
4. D.
Hilbert, Foundations of Geometry (Grundlagen Der Geometri nin İngilizce
Tercümesi), Open Court Pub. Comp. (1950).
5. R.
Kaya, Projektif Geometri, Anadolu Üniversitesi yayını (1992).
6. F.
Krause, Taxicab Geometry, An adventure in Non-Euclidean Geometry, Dover Pub.,
Inc. New York (1975).
7. G.
E. Martin, Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane
8. R.
S. Millman-G. D. Parker, Geometry, A Metric Approach with Models, Springer
Verlag, Berlin (1991).
9.
School Mathematics Study Group, Geometry, Pasedena, California.
10. S.
Stahl, The Poincare Half-Plane, Jones and Barlett Pub., Boston.
EK-1:
ÖKLİD AKSİYOMU ve POSTULATLARI
Öklid ELEMENTLER adlı 13 kitaptan oluşan eserlerinden ilk 4
tanesinde düzlem geometriyi incelemektedir.Öklidyen geometrinin aksiyom ve
postulat adıyla anılan iki tür varsayımı vardır, ve bu iki kavram arasındaki
FARK daima soru ve tartışma konusu olmuştur. Greekçe' den alınan axioma (
önemli, değerli, yakışır, uygun) sözcüğü tamamen aşikar, doğruluğundan şüphe
olmayan ifade anlamında kullanılırken; postulat sözcüğü doğru olduğu kabul
edilebilen ifade yada başka bir deyimle doğruluğu çok aşikar olmayan fakat
geçerli olduğu varsayılan ifade anlamında kullanılmıştır. Bugün matematikte
böyle ifadeler arasında ayırım yapmaksızın hepsi aksiyom olarak, temel ön
kabuller olarak, alınmaktadır. Öklid aksiyom ve postulatlarını tam yansıtmak
için onları orijinaline uygun ingilizce ifadeleriyle vermeği tercih
ediyorum:
AKSİYOMLAR
[1]
Things which are equal to the same thing are also equal to one
another.
[2]
If equals added to equals, the whole are equal.
[3]
If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.
[4]
Things which coincide with one another are equal to one another.
[5]
The whole is greather than the part.
POSTULATLAR
[1]
To draw a line from any point to any point.
[2]
To produce a finite straight line continuously in a straight line.
[3]
To describe a circle with a circle with any center and distance.
[4]
That all right angles are equal to one another.
[5]
That, if a straight lines make the interior angles on the same side less than
two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that
side of which are the angles less than the two right angles.
Not:
Öklid aksiyom ve postulatlarında görülebilen eksiklik ve muğlaklıkların
bir çoğu, yine önceden verilen 23 tanımla kısmen takviye edilerek tamamlanmaya
çalışılmıştır.
KAYNAK:
"Euclid's Elements, book I." olarak internetten bakılabilir.
EK-2:ÖKLİDYEN
DÜZLEM AKSİYOMLARININ
D.Hilbert TARAFINDAN YENİDEN DÜZENLENMİŞİ
I -
KONUM (Connection or Incidence) AKSİYOMLARI
[1]Birbirinden
farklı iki nokta üzerinde en az bir doğru vardır. (Farklı iki noktadan en az bir
doğru geçer).
[2]
Birbirinden farklı iki nokta üzerinde en çok bir doğru vardır. (Farklı iki
noktadan en çok bir doğru geçer).
[3]
Her doğru üzerinde en az iki nokta, ve dışında en az bir nokta
vardır.
II -
ARA (Order) AKSİYOMLARI
[APB], P
noktasının Aile Barasında olduğunu göstermek üzere:
[1]
[APB] ise A, P, Bnoktaları farklı olup doğrudaştır ve [BPA] dır.
[2]
Farklı ve doğrudaş olan üç noktadan ancak birisi öteki ikisi
arasındadır.
[3] Ave Bbir
ldoğrusu üzerinde farklı iki nokta ise, lüzerinde [ABP] olacak biçimde en az bir
Pnoktası vardır.
[4] (PASCH
aksiyomu) A, B, C doğrudaş olmayan üç nokta ise ve ABC düzleminin, A, B, C nin
hiçbirinden geçmeyen bir l doğrusu (BC), (CA), (AB) açık doğru parçalarından
birini keserse, öteki ikisinden bir tekini de keser.
III
- EŞLİK (Congruence) AKSİYOMLARI
[1]
[AB]bir doğru parçası, ve [A´P herhangi bir ışın ise, bir ucu A´ de, öteki ucu
ışın üzerinde olan ve [AB] ye eş bulunan bir tek [A´B´] doğru parçası
vardır.
[2]
Doğru parçaları için eşlik bağıntısı geçişkendir, yani
[3]
[APB]ve [A´P´B´]için
.
[pq], p ve q
ışınlarının oluşturduğu açıyı;
[prq], [pq]
açısının bir iç noktası R iken r = [OR ışınının p ile q nun arasında
kaldığını;
[lP,
düzlemde l doğrusu ile birlikte, l nin dışındaki P noktasını üzerinde bulunduran
yarı düzlemi (düzlem-ışın) göstermek üzere:
[4] [hk] bir
açı, ve [lP hrhangi bir kenarı l üzerinde, öteki kenarı düzlem-ışın üzerinde
olan ve [hk] ye eş bulunan bir tek [h´k´] açısı vardır.
[5]
Açılar için eşlik bağıntısı geçişkendir, yani
.
[6]
[hrk], [h´r´k´] için
.
Üçgenlerde
eşliğin KAK tanımı:Aralarında gibi bir eşleme kurulmuş olan iki üçgende
karşılıklı ikişer kenar birbirine eş ise ve ayrıca bu kenarlar arasındaki
açılar da eş ise bu iki üçgene eş üçgenler denir.
[7]
Birbirine eş olan iki üçgende karşılıklı taban açıları eştir.
IV -
ÖKLİD PARALELLİK (Parallel) AKSİYOMU
Başka iki
doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğru ile aynı tarafta, toplamları den küçük
açılar oluşturursa, iki doğru bu açıların bulunduğu tarafta
kesişirler.
V -
SÜREKLİLİK (Continuity) AKSİYOMLARI
[1]
(ARCHIMEDES veya CANTOR aksiyomu) bir l doğrusu üzerinde içiçe doğru parçaları
ise, l üzerinde, kendisine göre, bütün ler aynı tarafta ve bütün ler ters
tarafta olacak biçimde bir P noktası vardır.
[2] (Tamlık
Aksiyomu) Nokta, doğru (ve düzlemlerin) oluşturduğu sisteme, bu beş grup
aksiyomun hepsine uyan yeni bir geometri oluşturacak şekilde başka elemanlar
eklemek mümkün değildir. Başka bir deyimle, geometrinin elemanları, beş aksiyom
grubu sağlandığı sürece, şüphe kabul etmeyen bir sistem oluşturur.
KAYNAKLAR
1-
David Hilbert, Foundations of Geometry, Open Court Pub. C., 1950.
2-
Hüseyin Demir, Öklid Geometrisi, ODTÜ, 1987.
EK-3:
ÖKLİDYEN DÜZLEM GEOMETERİ AKSİYOMLARI
(METRİK YAKLAŞIM)
"Öklidyen
düzlem geometri";
- P;
noktalar kümesi,
- L;
P nin alt kümelerinin bir ailesi olan doğrular,
- m;
açı ölçme fonksiyonu,
- ;
uzaklık fonksiyonu,
olmak üzere
aşağıda verilen onüç aksiyomu sağlayan [P,L, ,m] matematiksel sistem olarak
düşünülebilir. ( Bu onüç aksiyom antik çağda Öklid tarafından bulunan modern bir
aksiyomlar kümesinin, bugün indirgenmiş son şeklidir).
İlk
iki aksiyom üzerinde olma aksiyomları olarak bilinir.
[1] Verilen
iki noktayı içeren bir tek doğru vardır.
[2] Her
doğru en az iki nokta içerir. Pkümesi doğrusal olmayan en az üç nokta
içerir.
Bunları
izleyen dört aksiyom uzaklık fonksiyonunun pozitif tanımlı, simetrikve
üçgen
eşitsizliğini
sağladığını gösterir. Ayrıca cetvel aksiyomudenilen aksiyom sağlanır.
Detaylı
olarak, için bu dört aksiyom aşağıdaki gibidir.
[3] Her
sıralı (A,B) nokta çifti için (A,B) sayısını belirtir. Ayrıca (A,B)=0 olması
için gerek ve yeter koşul A=Bolmasıdır.
[4] (A,B)=
(B,A) dir.
[5] (A,B)+
(B,C)> (A,C) dir.
[6] Verilen
bir Ldoğrusu fL:L!Rbire-bir ve örten fonksiyonu vardır öyleki Lüzerindeki tüm A,
Bnoktaları için;
|fL(A) -
fL(B)|= (A,B)
olur.
Şimdiki
aksiyom düzlem ayırmaaksiyomudur.
[7] Verilen
bir Ldoğrusu için Pnin H1 veH2 gibi yarı düzlem olarak adlandırılan iki alt
kümesi vardır öyleki,
(i) H1
veH2 konvekstir;
(ii) H1
[H2 = P- L(Pden Lnin atılmışı demektir);
(iii)
A2H1 ve B2H2 ise L¹ Æ.
olur.
Şimdi
vereceğimiz dört açı-ölçmeaksiyomu bir bütün oluşturur.
[8] m, her
bir açı için 0 ile 180 arasında değişen bir reel sayı değeri ile
belirtir.
[9] Hyarı
düzleminin kenarı üzerinde bir ışını ve 0 ile 180 arasında herhangi bir rreel
sayısı verilsin. Bu durumda P2Holmak üzere mÐPAB = rolacak şekilde bir tek ışını
vardır.
[10] Eğer
Dnoktası ÐABCnin iç bölgesinde ise
mÐABD+
mÐDBC= mÐABC
dir.
[11] Eğer
Bnoktası, Aile Carasında ve DÏ ise,
mÐABD+mÐDBC=
180
dir.
Sıradaki
aksiyom [P,L, ,m] sisteminin kenar - açı - kenaraksiyomudur.
[12] İki
üçgenin köşe noktaları arasında bire-bir bir eşleme verilsin. Eğer birinci
üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, ikinci üçgenin karşılık gelen
kenarlarına ve açıya eş ise bu eşleme bir eşlik (çakışma)dir.
Son aksiyom
[P,L, ,m] sisteminin ünlü paralellikaksiyomudur.
[13]
Ldoğrusunun dışında bir Pnoktası verilsin. Bu durumda Pnoktasından geçen ve
Ldoğrusuna paralel olan bir tek doğru vardır.
KAYNAK
E.
F. Krause, Taxicab Geometry, Dover Pub. Comp., New York (1975).
|
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder