Herkesin bildiği gibi, bizlere de eğitimimiz boyunca öğretilen geometri,
Euclid’ in ortaya koyduğu bu düzlem geometridir. Bu geometride anlatılan
postulatlar hep iki boyutlu bir düzlem üzerinde tanımlanır.
Euclide’in postülatları şunlardır:a) İki nokta bir doğruyu anlatır. b) Bir
doğrudan bir doğru parçası elde edilebilir. c) Bir dâire bir merkez ile yarıçapı
ile anlatılabilr. d) Bir dik açı bütünleyenine eşittir. e) Bir doğruya dışındaki
bir noktadan ancak bir paralel doğru çizilebilir.
Düzlem geometride, geometri uzayı iki boyutlu bir düzlemdir demiştik. Euclid
düzlem geometrisinde temel elemanlar noktalar ile doğrulardır. Teoremler,
matematik aksiyomlardan yapılan çizimlerden sonuç elde edilmesi biçimindedir.
Euclide geometrinin en iyi bilinen teoremi, Osmanlının Eşek Davası dediği
Pisagor teoremidir.
Ne var ki, içinde yaşadığımız doğadaki hiç bir yüzey bir düzlem olmadığı
gibi, çizgiler de Euclid’ in tanımını yaptığı doğru niteliğinde olmayıp eğriler
biçimindedir. Doğadaki bu eğri düzlemler üzerine çizilecek açılar da Euclid’ in
düzlemleri üzerine çizilenlerden farklı davranış içinde olacaklardır (yukardaki
resme dikkat ediniz).
Ömer Hayyam ile Tûsî’nin Euclid’in paralel doğru teorisiyle ilgili beşinci
postulatın incelenmesi yeni bir devrin başladığını gösterir. Ömer Hayyâm’ın Fî
Şerhi mâ Eşkale min Müsaderat Kitabı Euclid (Euclid Elemanlarının Zorluğu
Üzerine) adlı yapıtı bir anlamda Euclid dışı geometrilere açılan ilk kapıdır. Bu
Müslüman geometri alimleri ile kitapları, Rönesanstan sonra Avrupa’da
yetişenlere rehberlik ettiler. Batıda geometrinin gelişmesi, doğu ile
aralarındaki bağın yeniden kurulması, ancak Rönesansla olanak kazandı. Euclid’in
paraleller postulatının ilk eleştirmenleri, bu postulatın doğruluğundan değil,
açık bir noktanın olmayışından şüphelendiler. Bu nedenle postulatı bir tarafa
bırakarak, açıklığı olan başka bir postulatı ortaya koymaya çalıştılar. Aynı
problemi 13. yüzyılda İranlı Matematikçi Nasireddin Tusi de yeniden ele
aldı.
On sekizinci asırda paraleller postulatı üstüne Avrupa’da Papaz Sacheri,
Legender, Lambert gibi matematikçiler ile 19. asırda Alman Matematikçi Gauss
tarafından çeşitli çalışmalar yapıldı. Bu araştırmalardaki başarısızlık, bu
postulatın “kabul edilebilir” özellikteki açık önermelerden faydalanarak ispat
edilemeyeceği düşüncesini ortaya koydu. Gereten çok geçmeden bu düşünce Janos
Bolyai (1832) de, Nikolai Ivanovch Lobachevsky (1855) de “paraleller postulatı”
yerine “Lobacevski postulatı” nı (Bir doğruya bir doğru dışındaki her noktadan
iki paralel çizilebileceğini kabul eden postulat) koyarak, yeni bir geometri
kurulabileceğinin farkına vardılar. Böyece “Hiperbolik Geometri” denilen yeni
bir geometrinin temelleri atılmış oldu. Karl Friedrich Gauss da bu alanda
çalıştı, ancak çalışmalarını gizli tuttu. Sonrasında Eugenio Beltrami modeller
sağladı, bu modelleri kullanarak eğer Euclid Geometrisi tutarlıysa hiperbolik
geometrinin de tutarlı olduğunu kanıtladı. Daha sonra Georg Friedrich Bernhard
Riemann paralelliğini kabul etmeyen “Eliptik Geometri”nin temellerini attı.
Hiperbolik geometri Öklid geometrisinden bir aksiomla ayrılır. Öklit'in
paralellik aksiomunun tersini doğru olarak kabul eden geometride bir doğrunun
dışındaki bir noktadan birden çok (sonsuz) tane paralel doğru geçebilir. Ayrıca
bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman iki tane dik açıdan küçüktür.
Hiperbolik geometride (Lobachevsky, Bolyai, Gauss geometrileri) geometrik
resimlerin, traktrice ya da traktrix denen bir hiperbolün 360 derece dönmesinden
elde edlen, borozana benzeyen bir yapının dış yüzüne çizildiği varsayılır.
Böylece geometrik resimler içbükey bir düzleme çizilmiş olurlar. Burada
geometrik yapıların, söz gelimi bir üçgenin kenarları içe dönük eğriler
biçiminde görünürler. Buna bağlı olarak üçgenin iç açıları, Euclid üçgeninkinden
daha dardır. Buna bağlı olarak hiperbolik geometrideki üçgenlerin iç açılarının
toplamı 180 dereceden daha ufaktır.
Buna karşılık eliptik geometride (Riemann eometrisi) resimlerin, br
elipsoidin ya da bir kürenin dış yüzüne çizildiği kabul edilir. Bu durumda
çizilen üçgenin kenarları dışa dönük eğrilerden oluşur. Bu yüzden bu üçgenin iç
açıları Euclid üçgeninkinden büyük olacağından, eliptik geometride bir üçgenin
iç açıları toplamı 180 dereceden daha büyüktür.
Euclid Dışı Geometrilerin Önemi :
Euclid dışı geometrilerin gelişiminin fizik için çok önemli olduğu, yirminci
yüzyılda kanıtlanmıştır. Işık hızının sınırının belirli olmasına karşın,
hiperbolik geometrinin kullanılması bazı hız artışlarını gerekli kılmıştır.
Einstein’ nin görecelik (relativity) kuramı uzayı genellikle düz olarak tanımlar
(Euclidian görüş), Fakat uzay, maddenin bulunduğu (galaksiler, nebulalar) kıyı
kesimlerinde eliptiktir (Euclid- dışı görüş). Demek ki evren bir elipsoidin dış
çeperinde yerleşmiş olarak bulunmaktadır. Uzayın sürekli olarak genişliyor
olması yüzünden [Hubble Sabiti (*)], maddenin bulunmadığı uzay bölgesi
(elipsoidin iç kesimi) hiperbolik model kullanılarak tanımlanabilir. Eğimin
nokta nokta değiştiği kıyı kesiminde Riemann geometrisi geçerlidir.
(*) Hubble Sabiti, Edwin Hubble'ın keşfiyle ortaya çıkan, onun adıyla anılan
kozmolojik bir sabittir. Hubble Sabitinin değeri Megaparsek başına 3,26 milyon
ışık yılıdır.
Galaksileri gözlemleyen Edwin Hubble, onların ışıklarının
kırmızıya kayma oranlarından hızları ile dünyaya olan uzaklıklarını
hesaplamıştır. Bu hızların uzaklıklarına oranının hep sabit olduğunu görmüştür.
İşte bu sabit Hubble Sabitidir.
Bu oranın sabitliğinden yola çıkılarak
evrenin homojen olup genişlediği, çünkü ancak homojense sabit bir genişleme
oranı olduğu modeli ortaya atılmıştır. Bugün bu tez büyük ölçüde bilim
adamlarınca kabul edilen evren modelidir.
Doç. Dr. Yalçın GÜRAN
Konuyla İlgili Metinler :
▪ Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
▪ Beltrami, Eugenio Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante,
Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
▪ Greenberg, Marvin Jay Euclidean and Non-Euclidean geometries: Development
and history New York: W. H. Freeman, 1993. ISBN 0-7167-2446-4
▪ Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull.
Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9-24.
▪ Stewart, Ian Flatterland. New York: Perseus Publishing, 2001. ISBN
0-7382-0675-X (softcover)
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder