EUCLIDES-DIŞI GEOMETRİLER
Hakan Parlak
Euclides-Dışı Geometrileri açıklamadan önce kısaca Euclides
geometrisini bir hatırlamakta yarar olduğunu düşünüyorum. Euclides geometrisi
doğru, çember, paralel doğrular, açılar, benzer üçgenler, düzlemler ve benzeri
konuları inceleyen ve mükemmelleştirilmiş halini çoğumuzun ortaöğretim boyunca
okuduğu geometridir. Belki insan düşüncesine en yakın olduğundan, belki de ilk
düşünülen ve ikibin yıl alternatifi bulunamayan, ( aslında bir tek
alternatifinin bile olamayacağına inanılan ) bir geometri olduğundan dolayı hala
da ortaöğretimin temel derslerinden birisidir Euclides geometrisi. Bu isimle
anılmasının sebebi bu geometrinin temellerinin yaklaşık olarak M.Ö. 300
yıllarında İskenderiye de büyük matematikçi Euclides tarafından yazılan ve onüç
ciltten oluşan ‘ Elementler' de sistematik olarak işlenmiş olmasıdır.
Euclides ‘ Elementler' in başlangıç bölümünde temel ilkeleri oluşturan
önermelerin bir listesini vermiştir. Bunlar üç gruptur: Tanımlar, Aksiyomlar ve
Postulatlar. Nokta, doğru, düzlem … v.b nin tanımı verildikten sonra Aksiyomlar
yani Genel doğrular sıralanmıştır. Bunlar;
Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.
- Eşit olan şeylere eşit şeyler eklendiğinde sonuçlar eşit olur.
- Eşit olan şeylerden eşit şeyler çıkarıldığında kalanlar eşittir.
- Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir
- Bütün parçasından büyüktür.
şeklindedir. Bunlardan sonra da Postulatlar yani aksiyomlar
gibi ispatsız kabul olunan ama doğruluklarına o zamanki anlayışa göre aksiyomlar
kadar kesin gözle bakılmayan temel önermeler sıralanmıştır. Euclides ‘in
postulatları şunlardır:
Bir doğru herhangi bir noktadan başka bir noktaya çizilebilir.
- Bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde sürekli uzatılabilir.
- Bir daireyi herhangi bir merkez ve uzaklıkla belirleyebiliriz.
- Tüm dik açılar birbirine eşittir.
- Başka iki doğruyu kesen bir doğru bu iki doğruyla aynı tarafta, toplamları iki dik açıdan küçük iç açılar meydana getirirse bu iki doğrunun uzantıları, açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişirler.
İşte bizim yazımızın kahramanı da bu beşinci postulattır.
Beşinci postulat ya da paralellik postulatı diye adlandırılan bu ifade ‘Verilen
bir doğruya verilen bir noktadan birden fazla paralel doğru çizilemez'
ifadesiyle matematiksel açıdan eşdeğerdir. Matematik tarihinde belki de hiçbir
önerme sonuçları bakımından paralellik postulatı kadar etkili olmamıştır. Bu
postulat daha baştan kuşkuyla karşılanmış, yüzyıllar boyunca doyuruculuğu
tartışma konusu olmuştur.
Euclides'in paralellik postulatı bağımsız mıydı ya da diğer
postulatlardan çıkarsanabilir miydi? Bu soru matematikçileri 2000 yıl boyunca
uğraştırmıştır. Eski çağda Ptolemy orta çağda Nasıreddin Tusi, 18.yüzyılda da
Lambert ve Legendre bunun cevabını bulmaya çalıştı. Tüm bu insanlar postulatı
kanıtlamaya çalışmış bu çalışmalarda çok önemli sonuçlar bulmuş ancak asıl
hedefleri hep sonuçsuz kalmıştır.
Paralellik postulatının bağımsız bir postulat olduğunu yani
seçilebilecek başka bir postulata dayanan yeni geometrilerin de mantıksal olarak
olanaklı olabileceğini ilk kestiren Gauss'tur. O zaman tarihler yaklaşık 1817 yi
gösteriyor olmalı. Bunu Gauss'un mektuplarından tahmin ediyoruz. Ne var ki Gauss
ulaştığı sonuçları açıklama yoluna gitmez bu konudaki düşüncelerini hiçbir zaman
yayımlamaz. Daha sonra 1823 de Macar matematikçi Janos Bolyai başka bir
postulata dayanan bir geometri kuramının olanaklı olduğunu buldu. Onunda
çalışmalarına son şeklini vermesi uzun sürünce, Euclides-dışı geometri
düşüncesini ilk gerçekleştiren ve 2000 yıllık geleneğe meydan okuyup
düşüncelerini yayımlayan rus matematikçi Nikolai Ivanovitch Lobachevsky
olmuştur.
Lobachevsky'nin oluşturduğu yeni geometride beşinci postulatın
yerine şu postulat kullanılmıştır. ‘Bir düzlem üzerinde bulunan d
doğrusuna, dışındaki A gibi bir noktadan d doğrusuyla
kesişmeyen birden fazla doğru çizilebilir.' Lobachevsky'nin ‘imgesel geometri'
dediği bu geometriye günümüzde ‘hiperbolik geometri' denmektedir.
Gauss'un, Bolyai'nin ve Lobachevsky'nin birbirinden bağımsız
olarak Göttingen, Budapeşte ve Kazan'da ortaya attığı temelleri benzer olan yeni
düşüncelerin 2000 yıllık bir kuluçka döneminden sonra aynı dönemde ortaya çıkışı
dikkat çekicidir.
Euclides-dışı Geometri adını ilk kullanan ise Gauss'tur. O
zamanki yaygın Kantçı felsefe Euclides-dışı geometriyi ciddiye almayı reddettiği
için otuz, kırk yıl boyunca matematiğin anlaşılması güç bir alanı olarak
kalmıştır.
Kant'a göre, geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini
aklımızın yapısına borçluydu; geometrik önermeler bu nedenle zorunlu
doğrulardı. Başka bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclides
geometrisiydi. Birçok matematikçinin önceleri görmezden geldiği ve yok saydığı
Euclides-dışı geometrinin önemini ilk kavrayan Riemann'dır. Riemann'nın ortaya
koyduğu manifoldlar kuramı Euclides-dışı geometriye izin veriyor ve Riemann
geometrileri denilen birçok yeni geometri ortaya çıkarıyordu. 1868 yılında da
İtalyan matematikçi Beltrami Euclides-dışı geometrilerin kendi içlerinde
tutarlılığını ispatlayarak artık bu konuda kalan tüm tereddütleri ortadan
kaldırmıştır. Böylece geometride Euclides'in egemenliği matematikte de mutlak
doğruluk düşüncesi yıkılmış oluyordu. Doğruluğu zorunlu gibi düşünülen
postulatların varsayımdan öte bir şey olmadığı, matematiksel doğrululuğun
göreceli olduğu, bir teoremin doğruluğunun dayandığı aksiyom ve postulatların
doğruluğuna bağlı olduğu görülmüştür. Başka geometrilerin belirlediği başka
uzaylarında olduğu belki de yaşadığımız evrenin de bu uzaylardan birine uyduğu
düşünceleri ortaya çıkmıştır.
Yazdıklarıma son vermeden son vermeden şunu belirtmek isterim ki günümüz
matematiğinin en önemli konularından biri olan Topoloji en genel geometri olarak
diğer tüm geometrileri kapsar. Genellik bakımından topolojiden sonra projektif
geometri gelir ve çeşitli özelleştirmelerle diğer geometrilere ( Hiperbolik
geometri, küresel,eliptik geometri, ..) ulaşılır. Ve bu yazıda adı geçen kavram
ve kişiler de başka, başka yazılara konu olabilecek kadar derin ve değerlidir.
Farklı bir zamanda bu konularda yine buluşmak dileğiyle.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder