Hiperbolik Geometri Hakkında Bilgi

Hiperbolik geometri Öklid geometrisinden bir belitle ayrılır Öklit’in paralellik belitinin tersini doğru olarak kabul eden geometride bir doğrunun dışındaki bir noktadan birden çok (sonsuz) tane paralel doğru geçebilir Ayrıca bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman iki tane dik açıdan küçüktür
Konu başlıklar

Tarih

Hiperbolik geometri alanındaki ilk araştırmacılar paralellik beliti çevresinde bir tutarsızlık bulmaya çalışanlardan oluşuyordu: Proclus, Ömer HayyamNasir al-Din al-Tusi, ve sonradan Giovanni Gerolamo Saccheri , John Wallis, Lambert, ve Legendre On dokuzuncu yüzyılda János Bolyai ve

Nikolai Ivanovich Lobachevsky’ın çalışmaları çok etkili oldu, öyle ki Hiperbolik Geometri’nin bazı parçaları onların isimleriyle anılıyor Karl Friedrich Gauss da bu alanda çalıştı, ancak çalışmalarını gizli tuttu Sonrasında Eugenio Beltrami modeller sağladı, ve bu modelleri kullanarak eğer Öklid Geometrisi tutarlıysa hiperbolik geometrinin de tutarlı olduğunu kanıtladı
Hiperbolik Geometride (hiperboloit geometrisi -saddle geometry- ya da Lobachevskian geometrisi olarak da adlandırılır)paralellik terimi yalnızca hiperbolik düzlemde kesişmeyen ancak çemberde sonsuzda kesişecek olan bir doğru çiftini anlatmak için kullanılır Eğer bu doğru çifti ne hiperbolik düzlemde ne de çemberde sonsuzda kesişirse (yani her iki durumda da kesişmezse) aşırıparalel olarak adlandırılırlar Hiperbolik düzlemin dikkate değer bir özelliği her aşırıparalel doğru çifti için iki doğru için ortak olan yalnızca bir tek bir dikme çizilebilir (Bkz aşırıparalel teorisi)

Hiperbolik geometrinin Öklid Geomertisine yabancı olan pek çok özelliği vardır, ve tüm bu farklılıklar hiperbolik belitinin bir sonucu olarak karşımıza çıkar
Modeller

Bu geometri, öklit uzayının bir altuzayı olarak düşünülebilir Bu durumda hiperbolik geometri aslında çift yanaklı bir hiperboloitin bir yanağının yüzeyindeki geometri olarak alınabilir Bu çanak yüzeyini bir düzleme izdüşümleyerek çeşitli modeller oluşturulabilir

Klein-Beltrami Modeli

Eğer dik izdüşüm yapılırsa Klein-Beltrami modeli elde edilir Bu modelde hiperbolik düzlem bir dairenin içindeki Öklitçi noktalardan oluşur ve “doğrular” sınır çemberin kirişleridir Çemberin üzerindeki noktalar geometriye dahil olmayacağından burada kesişen iki kiriş aslında paralel olacaktır, bu kirişlere yakınsak paralel doğru denir Eğer tamamen ayrık iki kiriş ise sadece paralel ya da bazen paralel ötesi doğrular denir

Poincaré Disk Modeli

Eğer hiperboloide stereografik izdüşüm uygulanırsa bu sefer oluşturulan modele Poincaré disk modeli denir Burada geometri yine bir çemberin içinde kalan noktalardan oluşacaktır ancak doğrular bu çembere dik olan çember yayları olacaktır Bu izdüşümün en önemli özelliği açıları ve çemberleri korumasıdır Bu modelin analitik geometrisi için Hilbert, uçlar aritmetiğini geliştirmiştir

Poincaré Yarı-Düzlem Modeli

Eğer hiperboloit XY düzlemine dik olan bir düzleme izdüşümlenirse, oluşan model Poincaré yarı-düzlem modelidir Bu modelde hiperboloit düzlemin belli bir doğrusunun yarattığı bir yarısındaki noktalara eşlenmiştir ve doğrular bu ayıran doğruya dik olan ya öklitçi ışınlardır ya da çember yaylarıdır